Bissectrice d'un angle

Définition

La bissectrice d'un angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est la droite qui le coupe en deux angles de même mesure.

On considère un triangle \(\text{ABC}\). On représente ci-dessous la bissectrice de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\).

Si \(\text{D}\) est un point appartenant à la bissectrice de \(\widehat{\text{BAC}}\), alors on a \(\widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{DAC}}\) et \(\widehat{\text{BAC}}= 2\times \widehat{\text{BAD}}\).

Propriété

Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est équidistant des trois côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle \(\text{ABC}\).

Sur la figure ci-dessus, on a représenté les trois bissectrices du triangle \(\text{ABC}\).
Le point \(\text{L}\) est le point de concours des trois bissectrices.
Ce point \(\text{L}\) est le centre du cercle inscrit dans le  triangle \(\text{ABC}\).

Soit \(\text{I, J}\) et \(\text{K}\) les projetés orthogonaux du point \(\text{L}\) sur, respectivement, les côtés \([\text{AB}], [\text{BC}]\) et \([\text{AC}]\) du triangle. Alors, on a : \(\text{LI}=\text{LJ}=\text{LK}\).